关于 $\Omega^lS^{n+l}$ 中球类的一个 Browder 定理

根据 Browder，若 $4n+2\neq 2^{t+1}-2$，则 $(4n+2)$ 维流形 $M^{4n+2}$ 的配边类的 Kervaire 不变量消失，且 $M^{2^{t+1}-2}$ 的 Kervaire 不变量为一当且仅当 $h_t^2\in\mathrm{Ext}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)$ 是一个永久循环。另一方面，根据 Madsen，若 $4n+2\neq 2^t-2$，则 $M^{4n+2}$ 配边于一个球面（因而 Kervaire 不变量为零），且 $M^{2^{t+1}-2}$ 不配边于球面（因而 Kervaire 不变量为一）当且仅当某元素 $p_{2^{t}-1}^2\in H_*QS^0$ 是球类的。此外，已知 $p_{2^t-1}^2$ 是球类的当且仅当 $h_t^2$ 是 Adams 谱序列中的永久循环。而且，类 $p_{2n+1}^2\in H_*QS^0$（其中 $2n+1\neq 2^t-1$）很容易被排除为球类。因此，Browder 定理可借助 $H_*QS^0$ 中某些平方类为球类来表述与证明（亦见 Akhmetev 与 Eccles 的工作）。在本注记中，我们考虑确定球类 $H_*\Omega^lS^{n+l}$ 的问题，其中 $n>0$ 且 $4\leqslant l\leqslant +\infty$。我们证明 (1) 若给定 $\xi^2\in H_*\Omega^lS^{n+l}$，满足 $\dim\xi+1\neq 2^t$ 且 $\dim \xi+1\equiv 2\textrm{ mod }4$ 以及 $n>l$，则 $\xi^2$ 不是球类的。我们称之为广义 Browder 定理。我们还给出了退化情形（对应 $\dim\xi\neq 2^t-1$，当 $l>n$ 时）的一些部分结果。(2) 对于 $l\in\{4,5,6,7,8\}$，$H_*\Omega^lS^{n+l}$ 中仅有的球类来自底胞腔的包含，或 Hopf 不变量一元素。这验证了 Eccles 猜想在 $l<9$ 的有限 loop 空间上的限制。