Freudenthal 定理与 $H_*QS^0$ 中的球类

本文讨论当 $k=\mathbb{Z},\mathbb{Z}/p$ 时 $H_*(QS^0;k)$ 中的球类，特别关注与 Curtis 猜想相关的 $p=2$ 情形。我们应用 Freudenthal 定理证明 ${\pi_*^s}$ 中经过某些有限谱分解的元素的 Hurewicz 像的消失结果。无论在 $p$-局部还是 $p$-完备情形下，这立即推出 ${_p\pi_*^s}$ 中已知无限族（如 Mahowaldean 族）的元素在非稳定 Hurewicz 同态 ${_p\pi_*^s}\simeq{_p\pi_*}QS^0\to H_*(QS^0;\mathbb{Z}/p)$ 下平凡映射。我们还观察到整系数非稳定 Hurewicz 同态 $\pi_*^s\simeq\pi_*QS^0\to H_*(QS^0;\mathbb{Z})$ 在可分解元素子模上的像由 $\mathbb{Z}\{h(\eta^2),h(\nu^2),h(\sigma^2)\}$ 给出。我们应用后者完全确定了某些 $n>0$ 与 $d>0$ 下 $H_*(\Omega^dS^{n+d};\mathbb{Z}/2)$ 中的球类；这验证了 Eccles 关于 $H_*QS^n$（$n>0$）中球类以及球面对应有限 loop 空间的猜想。