具有奇阶上同调的二复形到射影平面的强满射

给定一个有限且连通的二维 $CW$-复形 $K$,其基本群为 $\Pi$,第二整数上同调群 $H^2(K;\mathbb{Z})$ 为奇阶有限群,我们证明:(1) 对于 $K$ 上的每个局部整数系数系 $\alpha:\Pi\to{\rm Aut}(\mathbb{Z})$,相应的扭曲上同调群 $H^2(K;_{\alpha}\!\mathbb{Z})$ 为奇阶有限群,记其阶为 $\mathbb{C}^{\ast}(\alpha)$,并且存在一个从诱导 $\pi_1$ 上 $\alpha$ 的基于映射的基于同伦类集合 $[K;\mathbb{R}P^2]_{\alpha}^{\ast}$ 到 $H^2(K;_{\alpha}\!\mathbb{Z})$ 的自然映射——类似于由扭曲度所定义的那个——且该映射为双射;(2) 诱导 $\pi_1$ 上 $\alpha$ 的基于映射的(自由)同伦类集合 $[K;\mathbb{R}P^2]_{\alpha}$ 为阶 $\mathbb{C}(\alpha)=(\mathbb{C}^{\ast}(\alpha)+1)/2$ 的有限集;(3) 除一个同伦类外,所有 $[f]\in[K;\mathbb{R}P^2]_{\alpha}$ 均为强满射,它们由诱导同态 $f^{\ast}:H^2(\mathbb{R}P^2;_{\varrho}\!\mathbb{Z})\to H^2(K;_{\alpha}\!\mathbb{Z})$ 的非零性刻画,其中 $\varrho$ 是射影平面上的非平凡局部整数系数系。此外,针对若干二复形 $K$ 与作用 $\alpha$ 给出了群 $H^2(K;_{\alpha}\!\mathbb{Z})$ 的一些计算,从而可在非平凡 $\alpha$ 下比较 $H^2(K;\mathbb{Z})$ 与 $H^2(K;_{\alpha}\!\mathbb{Z})$。