图的总控制多细分数

非空图 $G$ 的控制多细分数被定义为最小正整数 $k$，使得存在一条边必须被细分 $k$ 次才能增加 $G$ 的控制数。类似地，我们定义图 $G$ 的总控制多细分数 msd$_{\gamma_t}(G)$，并证明对于任意阶数至少为二的连通图 $G$，有 msd$_{\gamma_t}(G)\leq 3$。我们证明了对于树而言，总控制多细分数等于已知的总控制细分数。我们还确定了一些图类的总控制多细分数，并刻画了满足 msd$_{\gamma_t}(T)=1$ 的树 $T$。