超树随机测度支撑集的完全不连通性与 percolation

超树随机测度(STRM)由 Allouba、Durrett、Hawkes 和 Perkins 引入，作为简单随机模型模拟超过程在固定时间的行为。STRM $\nu$ 作为一系列经验测度的极限，经历独立的超临界分支和独立的随机位移(空间运动)的离散时间粒子系统。我们研究 STRM 支撑集闭合支撑集 ($\mathrm{supp}(\nu)$) 的连通性属性。我们的主要结果是 $\mathrm{supp}(\nu)$ 完全不连通性(TD)的充分条件，以及 $\mathrm{supp}(\nu)$ 上的 percolation，它将暗示 $\mathrm{supp}(\nu)$ 中存在非平凡连通分量的几率。我们说明了该类 STRM 的一个子类与超Brownian 流动(SBM)之间密切的联系。对于这些特定的 STRM，上述结果给出 $\mathrm{supp}(\nu)$ 在三维及更高维度下的几率 TD，以及二维度下的非平凡连通分量的存在。后者二维结果假设 $p_c(\mathbb{Z}^2)$，即 $\mathbb{Z}^2$ 上的站点 percolation 的临界概率，小于 $1-e^{-1}$。(有强烈的数值证据支持这一假设，尽管已知严格界限仅略逊于此。)这为 SBM 相同的连通性属性提供了证据。后者仍是 Don Dawson 于30年前提出的难题，至今仍是二维和三维度下有趣的开放问题。