环面箭图渐近性与Mahler测度：$\mathcal{N}=2$ BPS态

此前已有研究利用晶体熔化模型和二聚体模型探讨了 $\mathcal{N}=2$ 四维环面箭图规范理论的BPS扇区。我们引入与统计二聚体模型相关的Mahler测度来研究这些箭图规范理论的大 $N$ 极限。在此极限下，研究了一般环面箭图理论中BPS态的生成函数，并以Mahler测度表示得到了熵、BPS态增长率和箭图的自由能。此外，还讨论了环面箭图中可能存在的三阶相变。在三叶草 $\mathbb{C}^3$ 和解析锥 $\mathcal{C}$ 箭图的具体例子中，给出了轮廓函数、熵密度、BPS增长率和箭图相结构的显式计算。最后，得到了Hirzebruch $\mathbb{F}_0$ 和 $\mathbb{C}^3/ \mathbb{Z}^2\times \mathbb{Z}^2$ 轨形箭图的BPS增长率，并讨论了结果对某些BPS黑洞的可能解释。