错向空间的拓扑

设 $G_1$ 与 $G_2$ 为 $SO(3)$ 的离散子群。形如 $X(G_1,G_2)=G_1\backslash SO(3)/G_2$ 的双商在空间科学中以错向空间之名引入。本文我们回顾若干已知结果，这些结果可用于研究错向空间的拓扑。忽略轨道折叠结构，所有错向空间均为具有有限基本群的闭可定向拓扑 3-流形。当 $G_1,G_2$ 为晶体学群时，我们计算基本群 $\pi_1(X(G_1,G_2))$，并应用 Thurston 椭圆化猜想来描述这些空间。由 Poincar\'{e} 猜想，许多错向空间同胚于 $S^3$。这些例子中的球性关联于 Mikhailova--Lange 定理，该定理构成了 Chevalley--Shephard--Todd 定理的某种实类比。我们显式描述了若干错向空间的拓扑类型，而避免援引 Poincar\'{e} 猜想。错向空间的分类允许在 $S^3$ 与 $\mathbb{R}P^3$ 上引入新的 $n$ 值群结构。最后，我们概述了特定错向空间 $X(D_2,D_2)$ 与可积动力系统及环面拓扑的联系。