拓扑 Veech 二分性与双曲平面的镶嵌

对每个带标记点的半平移曲面 $(M,\Sigma)$，我们构造一个关联的 Poincaré 上半平面的镶嵌 $\Pi(M,\Sigma)$，其拼块具有有限多条边且面积至多为 $\pi$。镶嵌 $\Pi(M,\Sigma)$ 关于 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 的作用是等变的，且关于（半）平移覆盖是不变的。当 $(M,\Sigma)$ 是带一个标记点的环面 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}^2$ 时，$\Pi(\mathbb{C}/\mathbb{Z}^2,\{0\})$ 与 Veech 引入的等-Delaunay 镶嵌一致，因为两种镶嵌都给出 Farey 镶嵌。作为应用，在 $(M,\Sigma)$ 是 Veech 曲面（格点曲面）的情形下，我们得到相应 Teichmüller 曲线体积的一个界。在假设 $(M,\Sigma)$ 满足拓扑 Veech 二分性的条件下，存在一个底层的自然图 $\mathcal{G}$ 承载 $\Pi(M,\Sigma)$，Veech 群 $\Gamma$ 通过其上的自同构作用。我们证明 $\mathcal{G}$ 具有无穷直径且是 Gromov 双曲的。此外，商 $\overline{\mathcal{G}}:=\mathcal{G}/\Gamma$ 是有限图当且仅当 $(M,\Sigma)$ 实际上是一个 Veech 曲面，在此情形下我们给出一种算法来显式确定图 $\overline{\mathcal{G}}$。该算法也允许人们得到 Veech 群 $\Gamma$ 的一个生成族和一个“粗”基本域。