Taimanov 半群的拓扑性质

如果半群 $T$ 包含两个不同元素 $0,\infty$，使得对于任意不同点 $x,y\in T\setminus\{0,\infty\}$ 有 $xy=\infty$，而在所有其他情况下 $xy=0$，则称 $T$ 为 Taimanov 半群。我们证明任意 Taimanov 半群 $T$ 具有以下拓扑性质：(i) 在 $T$ 上每个具有连续平移的 $T_1$ 拓扑都是离散的；(ii) $T$ 在包含 $T$ 作为子半群的每个 $T_1$ 拓扑半群中是闭的；(iii) $T$ 的每个非同构同态像 $Z$ 是零半群，因此 $Z$ 在 $Z$ 上的任何拓扑中都是拓扑半群。