交换环的半群素理想的拓扑性质

交换环 $R$ 的一个半群素理想是其半群 $(R,\cdot)$ 的一个素理想。本文的目的之一是从拓扑观点研究 $R$ 的素半群空间 $\scal(R)$。我们证明，在 B. Olberding 于 2010 年引入的自然拓扑下，$\scal(R)$ 是一个谱空间（继 Hochster 之后），是 $\Spec(R)$ 的谱扩张，并且赋值 $R\mapsto\scal(R)$ 诱导出一个反变函子。然后我们联系——在 $R$ 为整环的情况下——$\scal(R)$ 上的拓扑与 $R$ 的过度环集合上的 Zariski 拓扑。此外，我们研究 $\scal(R)$ 与空间 $\boldsymbol{\mathcal{X}}(R)$ 之间的关系，后者由 $\spec(R)$ 的所有非空逆闭子空间组成，该空间在 C.A. Finocchiaro, M. Fontana and D. Spirito 的 "The space of inverse-closed subsets of a spectral space is spectral" (提交) 中被引入和研究。在此背景下，我们证明 $\scal( R)$ 是 $\boldsymbol{\mathcal{X}}(R)$ 的一个谱收缩，并且刻画了 $\scal( R)$ 何时典范同胚于 $\boldsymbol{\mathcal{X}}(R)$，无论是在一般情形还是当 $\spec(R)$ 是 Noetherian 空间时。特别地，我们得到，当 $R$ 是一个 B\'ezout 域时，$\scal( R)$ 典范同胚于 $\boldsymbol{\mathcal{X}}(R)$ 以及 $R$ 的过度环空间 $\overr(R)$（赋予 Zariski 拓扑）。最后，我们比较空间 $\boldsymbol{\mathcal{X}}(R)$ 与 Nagata 环 $R(T)$ 的半群素理想空间 $\scal(R(T))$，给出一个典范谱嵌入 $\xcal(R)\hookrightarrow\scal(R(T))$，使得 $\xcal(R)$ 成为 $\scal(R(T))$ 的谱收缩。