Banach 空间张量积中的拓扑性质

给定两个 Banach 空间 $X$ 和 $Y$，我们分析了射影张量积 $X\widehat{\otimes}_\pi Y$ 何时具有 Corson 性质 (C) 或是弱 Lindelöf 决定（WLD）空间、弱紧生成（WCG）空间的子空间或 Hilbert 生成空间的子空间。例如，我们证明了：(i) $X\widehat{\otimes}_\pi Y$ 是 WLD 当且仅当 $X$ 和 $Y$ 均为 WLD 且所有从 $X$ 到 $Y^*$ 以及从 $Y$ 到 $X^*$ 的算子具有可分值域；(ii) 在从 $X$ 到 $Y^*$ 的每一算子均为紧算子的假设下，若 $X$ 和 $Y$ 均为某 WCG 空间的子空间，则 $X\widehat{\otimes}_\pi Y$ 也是某 WCG 空间的子空间；(iii) 对任意 $1< p,q<\infty$ 满足 $1/p+1/q<1$ 以及任意无限集 $\Gamma$，$\ell_p(\Gamma)\widehat{\otimes}_\pi \ell_q(\Gamma)$ 是某 Hilbert 生成空间的子空间。我们也关注内射张量积 $X\widehat{\otimes}_\varepsilon Y$。在此情形下，性质 (C) 与 WLD 性质的稳定性被证明与对偶球上所有正则 Borel 概率测度具有可数 Maharam 型这一条件密切相关。沿此路径，我们推广了 Plebanek 与 Sobota 的一个结果：若紧空间 $K$ 满足 $C(K\times K)$ 具有性质 (C)，则 $K$ 上所有正则 Borel 概率测度具有可数 Maharam 型。该推广对 Ruess 与 Werner 关于内射张量积下对偶单位球的 $w^*$-angelicity 是否保持的问题给出了一致的否定回答。