某些有理椭圆射影四维流形的拓扑刻画与霍奇结构

在本文中，我们考虑全纯嵌入到复射影八维空间 $\mathbb{P}^8$ 中的有理椭圆射影四维流形。通过使用全纯嵌入 $i:X \to\mathbb{P}^8$ 的法丛的欧拉示性数和陈数公式，我们证明了一个单连通 $\mathbb Q$-同调射影四维空间 $X\subset\mathbb{P}^8$ 双全纯同构于 $\mathbb P^4$。在证明该结果的过程中，我们偶然发现一个具有小平维数 $k(X) \neq 4$ 的 $\mathbb{Q}$-同调射影 4-空间 $X$ 同构于 $\mathbb{P}^4$。这一发现为 Wilson 在维数 $n=4$ 的情况下提出的一个问题提供了肯定的回答。使用类似的方法，我们证明了霍奇猜想对于有理椭球四维流形 $X \subset\mathbb{P}^8$ 成立，并且有理椭球四维流形 $X \subset\mathbb{P}^8$ 具有非正的霍奇水平。