费马实数环上的拓扑与代数结构

费马实数环是实数域的扩张，包含幂零无穷小量，并在经典逻辑中表示综合微分几何的一种替代。在本文中，我们的首要目标是利用标准拓扑与代数结构来研究该环。我们提出了由完备伪度量生成的费马拓扑，以及由完备度量生成的omega拓扑。前者与定义在费马实数开集上的（非标准）光滑函数的微分密切相关。后者与定义在无穷小集上的光滑函数的微分相联系。随后，我们证明每个（真）理想都是其阶小于或等于某实数的无穷小量集合。最后，我们定义并研究了无穷小量的根。文中还给出了计算机实现及其在带分数导数的无穷小泰勒公式中的应用。