费马实数——幂零无穷小与无限维空间

F.: 早上好赫尔曼，我想和你谈谈无穷小。G.: 说吧皮埃尔。F.: 我受够了所有关于我不严谨的诽谤，所以我开始研究非标准分析和合成微分几何。G.: 是的，我读过一些……F.: 好吧，它们的严谨性没问题。但是，当我看到非标准分析中无穷大的正弦无限接近一个实数时，我很惊讶：这个数有什么直观意义吗？然后，我发现要在合成微分几何中工作，我必须学习直觉主义逻辑……你知道，我喜欢在书的空白处写写画画，我不想浪费太多时间，我有很多事要做……G.: 在合成微分几何中，他们还声称每个无穷小同时为正和负，这有什么意义？为什么一阶无穷小的平方等于零，而两个一阶无穷小的乘积不一定为零？而且你知道吗，从非标准分析中的任何一个无穷小出发，都可以构造一个不可测集，而且无需使用选择公理！F.: 是的，我知道，我知道……好吧，听着：为什么我们不能从标准的一元实函数出发，然后使用……本工作是这一对话的理想延续：一种无需形式逻辑背景即可理解的、具有清晰直观意义且对有限维和无限维空间的微分几何有非平凡应用的实无穷小理论。