偏微分方程的时间依赖矩与随时间演化的原子集

我们研究由偏微分方程$\partial_t f = \nu\Delta f + g\cdot\nabla f + h\cdot f$产生的时间依赖矩及相伴多项式，并详细考虑其对偶方程。对于热方程，我们发现若干非负而非平方和的非负多项式在有限时间内于热方程下变为平方和。我们证明$\mathbb{R}[x,y,z]_{\leq 4}$中每个非负多项式在热方程下有限时间内成为平方和。我们解决了在方程$\partial_t f = g\cdot\nabla f + h\cdot f$且$f_0 = \mu_0$为有限原子测度下的原子运动问题。原子位置$x_i(t)$的时间演化$\mu_t = \sum_{i=1}^k c_i(t)\cdot \delta_{x_i(t)}$由输运项$g\cdot\nabla$描述，且时间依赖系数$c_i(t)$有依赖于$x_i(t)$、$h$与$\mathrm{div}\, g$的显式解。