3-连通平面图的圈谱中的紧间隙

对任意正整数 $k$，定义 $f(k)$（相应地，$f_3(k)$）为不小于 $k$ 的最小整数，使得每个周长 $\ge k$ 的 3-连通平面图 $G$（相应地，3-连通三次平面图 $G$）存在长度在区间 $[k, f(k)]$（相应地，$[k, f_3(k)]$）中的圈。Merker 证明了对任意 $k \ge 2$ 有 $f_3(k) \le 2k + 9$，且对任意偶数 $k \ge 4$ 有 $f_3(k) \ge 2k + 2$。他猜想对任意 $k \ge 2$ 有 $f_3(k) \le 2k + 2$。该猜想被 Zamfirescu 证伪，后者对每個偶数 $k \ge 6$ 给出了无限族反例，其图在 $[k, 2k + 2]$ 中无圈长，即对任意偶数 $k \ge 6$ 有 $f_3(k) \ge 2k + 3$。然而，$f_3(k)$ 的精确值仅对 $k \le 4$ 已知，且确定 $k \ge 5$ 时的 $f_3(k)$ 尚属开放问题。本文改进了 Merker 的上界，并给出了每个 $k \ge 5$ 时 $f_3(k)$ 的精确值。我们证明 $f_3(5) = 10$、$f_3(7) = 15$、$f_3(9) = 20$，且对任意 $k = 6, 8$ 或 $\ge 10$ 有 $f_3(k) = 2k + 3$。对于一般的 3-连通平面图，Merker 猜想存在某正整数 $c$ 使得对任意正整数 $k$ 有 $f(k) \le 2k + c$。我们对此猜想给出了完全肯定的回答。我们证明对任意 $k \le 3$ 有 $f(k) = 5$，$f(4) = 10$，且对任意 $k \ge 5$ 有 $f(k) = 2k + 3$。