随机Čech与Vietoris-Rips复形中“孤立”面消失的阈值

我们研究两类随机几何复形的组合连通性。这两类模型——Čech与Vietoris-Rips复形——建立在$d$维环面上强度为$n$的均匀泊松点过程之上，使用半径为$r_n$的球构造。前者中，$k$-单形/面由$(k+1)$个泊松点的子集构成，使得以这些点为中心、半径为$r_n$的球具有相互交集；后者中，我们仅要求球的两两交集。给定一个(单纯)复形(即对所有$k \geq 1$的$k$-单形集合)，我们可通过$(k+1)$-单形(“上连通”)或$(k-1)$-单形(“下连通”)连接$k$-单形。我们的兴趣在于理解当$n \to \infty$时随机Čech与Vietoris-Rips复形的这两种组合连通性概念。特别地，我们详细分析了两类随机几何复形在上、下连通中孤立$k$-面消失的阈值半径。尽管在粗尺度上预期阈值半径$r_n = \Theta((\frac{\log n}{n})^{1/d})$，我们的结果给出了对数尺度上更紧的常数界，并揭示了可能的二阶修正因子。此外，它们还揭示了Čech与Vietoris-Rips情形中相变的有趣差异。该分析因孤立$k$-面数目(作为半径的函数)的非单调性而引人关注，并引导人们考虑孤立$k$-面的“单调”消失。后者在粗尺度(即$\log n$尺度)上与上述消失阈值一致，但在Čech复形$k=1$的上连通情形中于$\log \log n$尺度上不同。