低维与高维中的近似 Čech 复形

Čech 复形揭示了任意维度点集在特定尺度下的宝贵拓扑信息，但这些复形的巨大规模限制了其实际应用。尽管最近的研究引入了针对（Vietoris-）Rips 复形（一种较粗糙的 Čech 复形版本）滤过的近似技术，我们提出直接对 Čech 滤过进行近似。对于固定维度的点集 $S$，我们提出了一种通过一系列规模为点数线性的复形来近似 $S$ 的 Čech 滤过的方法。我们将良分离对分解（WSPD）推广为良分离单纯分解（WSSD），其中定义在 $S$ 上的每个单纯形都被 WSSD 的某个元素所覆盖。我们给出了一种在固定维度空间中计算线性规模 WSSD 的高效算法。利用 WSSD，我们随后提出了 $S$ 的 Čech 复形滤过的线性规模近似。我们还推广了一个已知事实，即 Rips 复形以 $\sqrt{2}$ 的因子近似 Čech 复形。我们定义了一类在 Čech 和 Rips 复形之间插值的复形，对于任意参数 $\eps > 0$，该类复形能以 $(1+\eps)$ 的因子近似 Čech 复形。我们的复形可由大约 $O(n^{\lceil 1/2\eps\rceil})$ 个单纯形表示，且不隐含对点集环境维度的依赖。我们的结果基于 Čech 复形与高维点集最小包围球核心集（coresets）之间的有趣联系。作为我们分析的推论，我们展示了关于近似最小包围球半径的核心集的改进界限。