三维随机 Voronoi 镶嵌：从立方晶格到泊松点过程

我们用空间高斯噪声扰动 SC、BCC 和 FCC 晶体结构，其无量纲强度由参数 a 控制，并分析所得 Voronoi 镶嵌 (VT) 的拓扑和度量性质。SC 和 FCC 晶体的 VT 拓扑性质对于噪声的引入是不稳定的，因为相应的多面体在几何上是简并的，而 BCC 晶体的镶嵌即使在微小但有限强度的噪声下也是拓扑稳定的。对于弱噪声，受扰动的 BCC 和 FCC 晶体 VT 的平均面积随 a 二次增加。在受扰动的 SCC 晶体情况下，存在一个使单元平均面积最小化的最佳噪声量。对于中等噪声 (a>0.5)，三种受扰动 VT 的性质已无法区分，而对于强噪声 (a>2)，结果收敛于泊松 -VT 极限。值得注意的是，双参数伽马分布是所有考虑性质的经验分布的极佳模型。受扰动的 BCC 和 FCC 结构的 VT 是等周商（衡量单元球度的指标）的局部最大值，在所有空间填充 VT 中。在 BCC 情况下，这表明了最近被证伪的 Kelvin 猜想的一种较弱形式。由于单元形状的波动，在单元面积和体积之间观察到指数 >3/2 的反常标度，并且除 FCC 情况外，即使在 a->0 时也是如此。在泊松 -VT 极限下，该指数约为 1.67。由于面数与单元的球度呈正相关，当我们对具有特定面数的单元分别进行幂律拟合时，反常标度显著减弱。