三维 $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ Yang-Mills 理论是带背景源的三维引力

已知具有特定规范群的 Chern-Simons 理论等价于带有宇宙常数的三维 Einstein 引力的一阶表述，其中两者都是纯拓扑的。在这里，我们将这种对应关系扩展到具有动力学自由度的理论。我们证明了具有规范群 $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ 的三维 Yang-Mills 理论等价于无宇宙常数且与背景能动张量密度（这破坏了微分同胚对称性）耦合的三维 Einstein 引力的一阶表述。三维 Yang-Mills 理论的局部自由度对应于退化的“引力波”，其中度规是退化的，且自旋联络不再完全由度规决定。开启宇宙常数会产生带有背景能动张量密度的第三种方式（对于 $\Lambda<0$）或虚第三种方式（对于 $\Lambda>0$）规范理论。