三维与四维标量、矢量、张量宇宙学涨落及宇宙学分解定理

在宇宙学扰动理论中，使用方便根据这些分量在三维转动下的变换方式定义的标量、矢量、张量（SVT）基是惯例。在试图求解自动以这些分量的规范不变组合写出的涨落方程时，方程被认为分解为独立的SVT扇区，即分解定理。此处，无需指定规范，我们精确求解若干标准宇宙学下的涨落方程，以表明一般而言各种规范不变组合仅在更高导数层面分离。要在涨落方程本身层面实现分离，必须假设更高导数方程的边界条件。尽管渐近条件足以处理dS背景或$k=0$ RW背景附近的涨落，对于$k\neq 0$ RW背景附近的涨落，还需要求涨落在原点处行为良好。我们表明在某些情况下规范不变组合本身同时涉及标量与矢量。对此类情形，各SVT分量本身无分解定理，但对其规范不变组合仍可有。鉴于按三维转动定义基缺乏显协变性，我们引入另一种SVT基，其分量根据在四维广义坐标变换下的变换方式定义。采用此基涨落方程大为简化，且虽同样可在更高导数层面分解为独立规范不变扇区，但一般而言我们发现即便有边界条件，也无法得到涨落在涨落方程本身层面分离的分解定理。