三阶微分方程与伪球面曲面的局部等距浸入

描述伪球面曲面的微分方程类具有重要的可积性质，这些性质表现为存在无限层级的守恒律（局部和非局部）以及相关的线性问题。因此它包含许多已知的重要可积方程，如sine-Gordon、Liouville、KdV、mKdV、Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程，并且也是许多新可积方程族的家园。我们的论文关注由属于Chern和Tenenblat类的方程的解所定义的伪球面曲面在 ${\bf E}^{3}$ 中的局部等距浸入问题。在sine-Gordon方程的情况下，一个经典结果是浸入的第二基本形式仅依赖于偏微分方程解的有限阶射流。因此一个自然的问题是，这一显著性质是否扩展到描述伪球面曲面的微分方程类中除sine-Gordon方程之外的其他方程。在本文中，我们考虑形式为 $u_{t}-u_{xxt}=\lambda u u_{xxx} + G(u,u_x,u_{xx}),\, \lambda \in \mathbb{R},$ 的描述伪球面曲面的三阶方程。该类包含Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程作为特例。我们证明，只要存在一个在 ${\bf E}^3$ 中的局部等距浸入，其第二基本形式的系数依赖于u的有限阶射流，则这些系数在独立于解u的选择的意义上是普适的。