A-自由向量场上泛函的薄膜极限

本文研究受常秩算子 $\mathcal{A}$ 表示的线性 PDE 约束的薄膜上的变分原理。我们研究当区域厚度趋于零时积分泛函的有效行为，探讨 $\Gamma$-极限的上界和下界。在某些条件下，我们证明该极限是一个积分泛函，并给出显式公式。极限泛函被约束为 $\mathcal{A}_0$-自由向量场，其中极限算子 $\mathcal{A}_0$ 一般不是常秩的。这一结果将 Bouchitte、Fonseca 和 Mascarenhas [J. Convex Anal. 16 (2009), pp. 351--365] 的工作推广到 $\mathcal{A}$-自由向量场的框架。下界来自 Young 测度方法结合一个新的分解引理，而恢复序列的构造依赖于 Fourier 空间中的代数考量。论证的这一部分需要通过算子符号的适当收敛来仔细分析重标度算子 $\mathcal{A}_\epsilon$ 的极限行为，以及受（线性）弹性理论中弯矩公式启发的平面波的显式构造。我们还给出了一些对常见算子 $\mathcal{A}$ 的应用。