具奇异势的薄膜方程：接触线悖论的一种替代解

在润滑近似 regime 下，我们考察在形如 $P(h)\approx h^{1-m}$（当 $h\to 0^+$ 且 $m>1$）的奇异势作用下的铺展现象，该势刻画了气液界面与基底之间的排斥。我们假设接触线处无滑移。基于形式分析论证，我们指出对任意 $m>1$ 及任意速度值（正负皆可）均存在含三个参数的、因而是通有的波前族（即带接触线的行波解）。还存在一个双参数的推进型“线性-对数”波前族，其在液体主体内具有对数修正的线性行为。所有这些波前都具有有限耗散率，表明奇异势可作为接触线悖论的一种替代解。与稳态一致，波前对所有 $m>1$ 具有等于 $\pi/2$ 的微观接触角，并对所有 $m<3$ 具有有限能量。我们还基于热力学一致的接触线条件（刻画接触线处摩擦）提出了波前的选择准则。正如接触角条件在滑移模型中所做的那样，该准则对每个正速度选择一个唯一的（至多平移）线性-对数波前。数值证据表明，在固定速度与摩擦系数时，其形状依赖于铺展系数：在部分润湿下波前更陡，而在干态完全润湿下前驱区更显著。