时间中统计事件计数的热力学行为：独立与相关测量

我们基于时间 $t$ 与事件数 $n$ 的欧拉齐次一次熵函数 $\Phi(t,n)$，对时间序列（统计可观测量重复测量）引入一种熵分析。$\Phi$ 在共轭变量 $\eta=-\Phi'_t$ 与 $\mu=\Phi'_n$ 下的对偶性，给出微分形式的“状态方程”(EoS)，类似于经典热力学中的吉布斯-杜安关系：$t d\eta-n d\mu = 0$。对于速率为 $r$ 的简单泊松计数，$\eta=r(e^{\mu}-1)$。该共轭变量 $\eta$ 随后被确认为等于 $\Phi(t,n)$ 的哈密顿-雅可比方程中的哈密顿函数。将同样的逻辑应用于时间相关事件的熵函数，得到哈密顿量作为矩阵的主本征值。对于时间可逆情形，它是对称马尔可夫部分 $\sqrt{\pi_i}q_{ij}/\sqrt{\pi_j}$ 与共轭变量 $\mu_i\delta_{ij}$ 之和。该本征向量作为以朴素计数测度为先验的后验，暗示了一组马尔可夫态的内禀特征。