从时间离散性推导微观熵与时间不可逆性

所有基本的微观物理定律都是时间可逆的。相比之下，作为世界宏观物理描述的热力学第二定律，能够通过熵 $S$ 大于 0 的变化来描述孤立系统中的不可逆过程。本手稿试图采用一种不同于 Gibbs 和 Boltzmann 统计力学理论的方法，架起微观物理世界与其宏观世界之间的桥梁。我们提出时间是离散的且具有恒定的步长。其后果是，如果当前的力具有复数性质（即非常数），则在微观层面会出现时间不可逆性。为了将这种离散时间不可逆力学（为简化起见，选取一维空间中的经典单粒子）与其经典 Newton 类比进行比较，我们通过将任意给定时间步长 $n$ 的时间步长缩放变量 $s_n$ 重新引入时间可逆性，从而导出 Nose-Hoover 拉格朗日量。相应的 Nose-Hoover 哈密顿量包含一项 $N_{df} k_B T \ln(s_n)$（其中 $k_B$ 为 Boltzmann 常数，$T$ 为温度，$N_{df}$ 为自由度数目），该项定义为时间点 $n$ 的微观熵 $S_n$ 乘以 $T$。对于一个没有快速变化力的系统，在平衡态下对该微观熵 $S_n$ 进行系综平均，可近似得到热力学中已知的宏观对应量。所提出的推导及其导致的系综平均微观熵与其热力学类比之间的相似性表明，Boltzmann 和 Gibbs 对熵的原始描述仅仅是对平衡态下接近 1 的时间缩放变量 $s_n$ 的系综平均，而熵项本身的根源并非在于统计力学，而在于时间的离散性。