通过另一种 Sugawara 构造的 $Z_N$ 等价 Virasoro 代数

本文研究了 $U(1)^2$ Kac-Moody 代数，并将 Virasoro 代数的标准 Sugawara 构造推广到一个无限族新的实现。在这种情况下，除了标准不变张量 $\delta^{ij}$ 外，还存在另一个不变张量 $\epsilon^{ij}$，这使得这些新的实现超出传统实现成为可能。我们展示，这些新的实现源于 Virasoro 生成器 $L_n$ 模式指数 $n$ 的 $\mathbb{Z}_N$ grading，并且这些实现的空间对应于一个可能是奇异代数 variety 的点。对于 $\mathbb{Z}_2$ 和 $\mathbb{Z}_3$ 情况，所有这些构造的空间在拓扑上等价于圆柱体，而对于 $\mathbb{Z}_4$ 则形成一个非紧致的实四维流形。我们展示了 $Z_{2N}$ 和 $Z_{2N+1}$ 的构造空间紧密相似。进一步，我们在作用空间框架内重新表述该问题，通过引入 $\mathbb{Z}_N$-等价映射，这提供了一种系统的方法，用于构造拥有这些广义 Virasoro 对称性的共形场论。该表述再现了 $\mathbb{Z}_2$ 情况，并支持 $\mathbb{Z}_N$-等价性提供一种一致且统一的方法，以生成扩展共形代数的想法。最后，我们分析与这些构造相关的 Virasoro-Kac-Moody 类似代数，表明它们代表了对著名 Virasoro-Kac-Moody 代数的非平凡变形。