带密度流形的加权环境度量

我们证明了带密度流形的 Fefferman-Graham 环境度量的加权类比的存在性与唯一性。接着我们表明该环境度量构成了奇异 Ricci 流的自然几何框架：给定 Kleiner-Lott 意义下的奇异梯度 Ricci 流时空，我们从中构造出一个唯一的全局环境半空间。我们也证明了其逆命题，即每个全局环境空间都包含一个奇异梯度 Ricci 流时空，从而完成了这一对应。我们的主要应用是构造 Perelman 的 $\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{W}$ 泛函的完全非线性类比的无穷族。我们在若干条件下（包括收缩孤立子和 Einstein 流形情形）将这些泛函族的 Perelman 单调性结果推广。为此我们在环境空间中构造了一个“Ricci 流向量场”，这本身可能具有独立的研究意义。我们还证明了与该加权环境度量相关的加权 GJMS 算子是形式自伴的，且相关的加权重整化体积系数是变分的。