矢量体积与黑洞

通过考察某一时空区域沿无散矢量场 $v^\alpha$ 的不变体积 $\mathcal V$ 的增长率，我们引入了“矢量体积”$\mathcal{V}_v$ 的概念。该体积可以通过多种等价方式定义。例如，它可以表示为 $\mathrm d \mathcal V(\mu) / \mathrm d \mu$，其中 $v^\alpha \partial_\alpha = \mathrm d / \mathrm d \mu$，且 $\mu$ 是沿 $v$ 积分曲线的参数距离。等价地，它可以定义为 $\int v^\alpha \mathrm d \Sigma_\alpha$，其中 $\mathrm d \Sigma_\alpha$ 是有向面元。我们发现该体积特别适用于描述黑洞，但也可用于其他语境。此外，该体积具有若干感兴趣的性质。其中之一是矢量体积关于矢量 $v^\alpha$ 的选择呈线性关系。因此，例如在具有类时 Killing 矢量 $t^\alpha$ 和轴对称 Killing 矢量 $\phi^\alpha$ 的稳态轴对称时空中，相对于矢量 $t^\alpha + \Omega \phi^\alpha$ 的轴对称区域的矢量体积对于任何 $\Omega$ 值均相等，这是基于 $\phi^\alpha$ 不对 $\mathcal{V}_v$ 产生贡献这一附加结果得出的推论。或许最令人感兴趣的是，在 Kerr-Schild 时空中，完整时空的体积元等于背景时空的体积元。我们讨论了利用矢量体积定义黑洞体积的不同方法。最后，我们将我们的工作与近期广泛开展的、基于热力学动机且与非零宇宙学常数 $\Lambda$ 相关的黑洞“体积”研究联系起来。