双条纹对称循环 TSP 属于 P 类

对称循环 TSP 是旅行商问题的一个特例，其中边代价是对称的并满足循环对称性。尽管输入具有显著的对称性，人们对对称循环 TSP 的了解却出奇地少，该问题的复杂性一直是一个常被引用的开放问题。人们已付出大量努力来理解仅允许两种长度的边具有有限代价的情况：双条纹对称循环 TSP。在本文中，我们解决了双条纹对称循环 TSP 的复杂性。为此，我们将双条纹对称循环 TSP 归约到在圆柱图上寻找某些最小代价哈密顿路径的问题。然后我们求解了该哈密顿路径问题。我们的结果表明双条纹对称循环 TSP 属于 P 类。注意，一个双条纹对称循环 TSP 实例由常数个输入（包括城市数 $n$）组成，因此决策问题的多项式时间算法必须在关于 $n$ 的 polylog 时间内运行，而优化问题的多项式时间算法无法输出巡游路线。我们通过证明最优巡游路线必属于两类参数化巡游路线之一，并且我们可以在多项式时间内输出该类别和参数，从而解决了后一困难。因此我们对 TSP 的多项式时间可解特例集合做出了实质性贡献，并向解决一般对称循环 TSP 的复杂性迈出了重要一步。