双星模型：稀疏区中的精确解与凝聚相变

$2$-star 模型是展现退化、相变等复杂行为的最简单指数随机图模型。尽管其重要，该模型此前仅在稠密连通性情形下被求解。在本文中，我们在有限连通性情形下求解了该模型，该情形在真实世界网络中远为普遍。我们表明，该模型沿着系综参数空间中对应于 Erd\"os-R\\'enyi 图的临界线，经历从液体相到凝聚相的凝聚相变。在流体相中，该模型能产生度统计狭窄的图，范围从正则图到 Erd\"os-R\\'enyi 图；而在凝聚相中，“过剩”的度异质性凝聚在单个具有度 $\sim\sqrt{N}$ 的节点上。这表明标准定义下的双星模型不适合生成度异质性高于 Erd\"os-R\\'enyi 图的任意有限连通图，并提示通过放宽对双星的整体约束，同时保持连边数几乎不受约束，可能获得该模型的非病态变体。