有向图中 directed paths 与 cycles 的图兰问题

设 $\overrightarrow{P_k}$ 与 $\overrightarrow{C_k}$ 分别表示阶为 $k$ 的有向路径与有向圈。本文确定了阶为 $n$ 的无 $\overrightarrow{P_k}$ 有向图的精确最大规模，以及当 $n$ 较大时达到该最大规模的极图。对所有 $n$，我们还确定了阶为 $n$ 的无 $\overrightarrow{C_k}$ 有向图的精确最大规模，以及达到该最大规模的极图。此外，Huang 与 Lyu [\textit{Discrete Math. 343(5) 2020}] 刻画了避免 $C_4$ 某一定向的极图。对于 $C_4$ 的所有其他定向，我们也研究了避免它们的最大规模与极图。