2+1维 $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ $\sigma$ 模型中的拓扑扇区求和与 $\theta$ 参数

我们讨论三维时空的 $\mathbb{C}\mathbb{P}^N$ 模型并专门研究 $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ 模型。由于 Hopf 映射 $\pi_3(\mathbb{C}\mathbb{P}^1)=\mathbb{Z}$，人们可能试图将该模型耦合到一个周期性的 $\theta$ 参数。然而，我们论证只有 $\theta=0$ 和 $\theta=\pi$ 是自洽的。对于这些取值，模型中的 Skyrmion 分别是玻色子和费米子，而不是任意子。我们还将该模型耦合到一个拓扑量子场论进行扩展，使得 Skyrmion 成为任意子。我们利用几何与拓扑技术，在任意三维流形上构造了 $\theta =\pi$ 理论，并利用关于可逆场论的最新结果证明没有其他 $\theta$ 值能满足必要的局域性。