二次剩余的随机性参数

遵循V. I. Arnold，我们将$\mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$的子集$U$的随机性参数$S(U)$定义为$U$中元素间连续距离的平方和。本文研究模$M$二次剩余集合$R_M$的随机性参数。我们给出一种方法，可对正密度的$M$集合求出$S(R_M)$的渐近性。特别地，我们得到如下两个推论。以$s(k)=s(k,\mathbb{Z}/M\mathbb{Z})$表示所有大小为$k$的子集$U\subseteq \mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$上$S(U)$的平均值，可视为大小为$k$的随机集合的随机性参数。令$\mathfrak{S}(R_M)=S(R_M)/s(|R_M|)$。我们证明：a) $\varliminf_{M\to\infty}\mathfrak{S}(R_M)<1<\varlimsup_{M\to\infty}\mathfrak{S}(R_M)$；b) 集合$\{ M\in \mathbb{N}: \mathfrak{S}(R_M)<1 \}$具有正下密度。