随机电导间偏置随机游走的速度

我们考虑 $\mathbb{Z}^d$ 上独立同分布、一致椭圆的电导间的偏置随机游走，并研究速度作为偏置函数的单调性。不难看到，如果偏置足够大，速度随偏置增大而增大。我们的主要结果是，如果无序度较小，即所有电导彼此足够接近，则速度总是严格随偏置增大而增大（见定理1）。证明的一个关键要素是速度导数的公式，它可写为一个协方差（见定理3）：该公式沿用了[GGN]中爱因斯坦关系证明的思路。另一方面，我们给出一个反例，表明对于独立同分布、一致椭圆的电导，速度并非总是随偏置增大而增大。更确切地说，如果 $d=2$ 且电导取值为 $1$（概率为 $p$）和 $\kappa$（概率为 $1-p$），并且 $p$ 足够接近 $1$ 且 $\kappa$ 足够小，则速度不是偏置的增函数（见定理2）。