有限群上某些映射的可解根与轨道

对于有限群$G$中的每个元素$u$，定义映射$\theta_u\colon G\to G$为$\theta_u(g)=[g^{-u},g]$，并设$\Theta_G(u)=\{g\in G\mid \theta_u^n(g)=g \hbox{ for some } n>0\}$。则$\theta_u$诱导$\Theta_G(u)$上的一个置换；令$\beta_G(u)$为除$\{1\}$之外的轨道数。基于J.N. Bray、R.A. Wilson和第二作者的工作，我们证明有限群$G$的可解根指数由$2$-元素$u$的$\beta_G(u)$值所界定。