零维理想的Sylvester与Bézout矩阵的Smith标准形

设 $\mathbb{K}$ 为域，$f,g \in \mathbb{K}[x,y]$ 使得理想 $\langle f,g \rangle$ 是零维的。我们将 $f$ 和 $g$ 视为以 $\mathbb{K}[y]$ 为系数的一元 $x$ 多项式来构造Sylvester和Bézout结式多项式矩阵，并对其进行研究。我们利用H. M. Möller等人定义和研究过的微分算子的对偶空间，在 $\mathbb{K}[y]$ 上刻画了它们的Smith标准形。特别地，若 $\mathbb{K}$ 是代数闭域，我们证明当 $f$ 和 $g$ 的首项系数在 $\mathbb{K}[y]$ 上互素时，Sylvester和Bézout结式矩阵的部分重数与某些整数一致，我们称之为Möller指数。这些指数由 $\langle f,g \rangle$ 唯一确定，并且可以从对偶空间的Gauss基（定义见[M. G. Marinari, H. M. Möller, T. Mora, Trans. Amer. Math. Soc. 348(8):3283--3321, 1996]）中方便地计算得到。随后，我们将此结果推广到首项系数有公因子的情况，这对应于 $x=\infty$ 处的交点，再次刻画了Sylvester和Bézout结式矩阵的所有不变因子。作为推论，这完全刻画了结式 $\mathrm{Res}_x(f,g) \in \mathbb{K}[y]$ 的所有根的代数重数，用 $f$ 和 $g$ 的交点重数来表示，包括由无穷远交点产生的那些。我们讨论了我们的结果在代数和计算两方面的意义。