六点圆定理

给定 $\Delta ABC$ 和角 $\alpha,\beta,\gamma\in(0,\pi)$ 且 $\alpha+\beta+\gamma=\pi$，我们研究满足以下条件的三角形 $DEF$ 的性质：(i) $D\in BC$, $E\in AC$, $F\in AB$，(ii) $\angle D=\alpha$, $\angle E=\beta$, $\angle F=\gamma$，(iii) $\Delta DEF$ 在满足 (i) 和 (ii) 的三角形类中具有最小面积。特别地，我们证明了极小化三角形 $\Delta DEF$ 存在且唯一，并且是一个垂足三角形，对应于某个垂足点 $P$。在 (ii) 中交换角 $\alpha,\beta,\gamma$ 的角色，总共得到六个这样的面积极小化三角形，它们相对于六个垂足点（记为 $P_1,....,P_6$）是垂足三角形。本文的主要结果是存在一个包含所有六个点的圆。