单环定理与 Shub 的一个问题

给定 $GL(d,\mathbb{R})$ 上的一个正交不变概率测度，Mike Shub 提出了一个问题：该系综中前 $k$ 个最大特征值的平均乘积是否可以被沿 $k$ 维 Grassmann 流形的平均畸变下界所界定。最近，Armentano、Chinta、Sahi 和 Shub 取得了部分进展，但他们附加了一个常数 $c_{d,k}$，当 $d \to \infty$ 时该常数趋于 0。在本文中，通过调用单环定理及其后续结果，我们渐近地证明了该猜想对于谱半径的情形，特别地，当 $d \to \infty$ 且 $k = 1$ 时，$c_{d,k} \to 1$。