冯·诺依曼代数的相似性问题与超自反性

相似性问题是关于 $C^*$-代数理论中最著名的开放问题之一。我们称一个 $C^*$-代数 $\cl A$ 满足相似性质（简称 (SP)），如果每一个有界同态 $u\colon \cl A\to \cl B(H)$ 都相似于一个 $*$-同态；并称一个冯·诺依曼代数 $\cl A$ 满足弱相似性质（简称 (WSP)），如果每一个 $\mathrm{w}^*$-连续、含单位元且有界的同态 $u\colon \cl A\to \cl B(H)$（其中 $H$ 是希尔伯特空间）都相似于一个 $*$-同态。我们证明冯·诺依曼代数 $\cl A$ 满足 (WSP) 当且仅当对所有基数 $I$，代数 $\cl A^{\prime}\bar \otimes \cl B(\ell^2(I))$ 都是超自反的。在 $\cl A$ 为可分离作用的冯·诺依曼代数的情形下，我们证明它满足 (WSP) 当且仅当代数 $\cl A^\prime \bar \otimes \cl B(\ell^2(\bb{N}))$ 是超自反的。我们还引入假设 {\bf (CHH)}：每一个超自反的可分离作用冯·诺依曼代数都是完全超自反的。我们证明在 {\bf (CHH)} 下，所有 $C^*$-代数都满足 (SP)。最后，我们证明空间张量积 $\cl A\bar \otimes \cl B$（其中 $\cl A$ 为内射冯·诺依曼代数，$\cl B$ 为满足 (WSP) 的冯·诺依曼代数）也满足 (WSP)，并给出了 $\text{w}^*$-相似度 $d_{*}(\cl A\bar \otimes \cl B)$ 的上界。