投影长度所需的锐 Hausdorff 测度条件

在最近的一篇论文中，Pertti Mattila 问哪些规范函数 $\phi$ 具有如下性质：对任意在平面中具有规范 $\phi$ 的正 Hausdorff 测度的 Borel 集 $A$，其在几乎每条直线上的投影具有正长度。我们证明，已知对该性质充分的 $\phi(r)/(r^2)$ 在零附近的 integrability（可积性），在 $\phi$ 正则变分时也是必要的。我们的证明基于适配于规范函数的随机构造。