每个实二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$ 上的 Fibonacci 与 Lucas 序列

我们针对任意二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$（其中 $d>0$ 且无平方因子）构造了 Fibonacci 与 Lucas 序列，并注意到一般而言，在相应的变体下，这些性质对于 $d = 5$ 的情形仍与经典 Fibonacci 与 Lucas 序列所给性质同样成立。在此构造中，我们利用 $\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$ 的基本单位，随后观察到对任意 $\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$ 单位的推广；在某些条件下，这些构造中的部分对应于某个 $k\in \mathbb{N}$ 的 $k$-Fibonacci 序列。当然，对这两类序列，我们都得到了生成函数、黄金比、Binet 公式以及它们保持的一些恒等式。