Banach 空间的 Segre 锥与多线性算子

我们证明，在 $n$ 个 Banach 空间的张量积上定义的任意一对合理交叉范数，在秩 $\leq k$ 的向量集合 $S^k_{X_1,\ldots, X_n}$ 上诱导出 $(2k)^{n-1}$-Lipschitz 等价的度量（从而诱导唯一拓扑）。据此我们定义 Banach 空间的 Segre 锥 $\Sigma_{X_1,\ldots, X_n}$，并阐明 $S^k_{X_1,\ldots, X_n}$ 何时为闭集。我们引入一个辅助映射（一种 $\Sigma$-算子），使我们能以几何观点研究多线性映射。利用多线性映射与 Lipschitz $\Sigma$-算子之间的等距对应，我们得到一种将理想性质从线性情形推广到多线性情形的策略。