基于左到右最小值指数倾斜分布的非均匀到达秘书问题

我们解决了秘书问题在排序物品以统计偏置顺序而非均匀随机顺序到达的情形。该偏置由参数为 $q\in(0,\infty)$ 的左到右最小值指数倾斜分布给出。即，对于 $\sigma\in S_n$，$P_n(\sigma)$ 正比于 $q^{\text{LR}^{-}_n(\sigma)}$，其中左到右最小值统计量 $\text{LR}^-_n$ 定义为 $$\text{LR}^{-}_n(\sigma)=|\{j\in[n]: \sigma_j=\min\{\sigma_i:1\le i\le j\}\}|,\ \sigma\in S_n.$$ 对于 $q\in(0,1)$，高排名物品往往比均匀分布情形更早到达；对于 $q\in(1,\infty)$，它们往往更晚到达。在经典问题中，渐近最优策略是拒绝前 $M_n^*$ 个物品，其中 $M_n^*\sim\frac ne$，然后选择第一个排名高于前 $M_n^*$ 中任意物品的物品（若存在）。这给出 $e^{-1}$ 作为成功的极限概率。在上述到达偏置下，我们计算了所有序列 $\{q_n\}_{n=1}^\infty$ 情形下最优策略 $M_n^*$ 的渐近行为及相应的成功极限概率。特别地，若 $\{q_n\}_{n=1}^\infty$ 的领先阶渐近行为至少为 $\frac1{\log n}$，且其阶不超过 $o(n)$，则使用渐近最优策略时的成功极限概率为 $e^{-1}$；否则，该成功极限概率大于 $e^{-1}$。此外，渐近最优策略所一概拒绝的物品比例极限 $\lim_{n\to\infty}\frac{M^*_n}n$ 位于 $(0,1)$ 当且仅当 $\lim_{n\to\infty}q_n\in(0,\infty)$。