按避免长度为三的模式的随机排列到达物品的秘书问题

在经典秘书问题中，n 个有排名的物品逐个到达，并记录每个物品相对于其前驱的排名。观察者必须在每个物品到达时选择或拒绝它，目标是选中排名最高的物品。对 M_n∈{0,1,⋯,n-1}，令 S(n,M_n) 表示如下策略：观察者拒绝前 M_n 个物品，然后选择第一个其后到达且排名高于前 M_n 个物品中任一者的物品（若存在）。若排名物品以均匀随机顺序到达，众所周知最优成功概率的极限为 1/e，且在 M_n∼n/e 时取得。已有研究表明，当排名物品按置换集上某些非均匀分布到达时，1/e 是最优概率的下界。该现象存在一个根本原因。我们考虑该原因不适用的一些分布。我们首先指出一类人为构造的分布，使得 S(n,M) 给出最低的可能成功概率——即对所有 M 均为 1/n。接着我们考虑避开特定长度为三的模式的全体置换上的均匀分布。在模式 231 或 132 的情形下，对任意 M_n 的选择，策略 S(n,M_n) 给出完全相同的成功概率；即 (n+1)/(2(2n-1))，其极限概率为 1/4。对于模式 213，最优策略在 M∈{0,1} 时取得，极限概率亦为 1/4。对于模式 123，最优策略在 M=1 时取得，极限概率为 3/4。对于其余两种模式 312 和 321，最优策略将给出至少 7/16 的极限概率。