每秩含多个物品的秘书问题的两种效率度量

对 $2\le k\in\mathbb{N}$,考虑如下经典秘书问题的变体。在 $n$ 个线性有序的秩中各含 $k$ 个物品。这 $kn$ 个物品以均匀随机顺序逐个揭示给观察者,其目标是选出一个最高秩的物品。每一阶段观察者仅知迄今到达物品的相对秩,且必须要么选择当前物品(此时过程终止),要么拒绝并继续下一物品。对 $M\in\{0,1,\cdots, kn-1\}$,令 $\mathcal{S}(n,k;M)$ 表示如下策略:允许前 $M$ 个物品跳过,然后选择之后到达的、其秩\it 等于或高于\rm 前 $M$ 个物品最高秩的第一个物品(若存在)。令 $W_{\mathcal{S}(n,k;M)}$ 表示使用策略 $\mathcal{S}(n,k;M)$ 选中最高秩物品的事件,令 $P_{n,k}(W_{\mathcal{S}(n,k;M)})$ 表示相应概率。我们得到了 $P_{n,k}(W_{\mathcal{S}(n,k;M)})$ 的公式,以及当 $M_n\sim ckn$、$c\in(0,1)$ 时 $\lim_{n\to\infty}P_{n,k}(W_{\mathcal{S}(n,k;M_n)})$ 的极限。在经典秘书问题中,渐近最优策略的成功概率为 $\frac1e\approx 0.368$。对 $k=2$,渐近最优策略的成功概率约为 0.701。对 $k=3$,最优概率高于 0.85;对 $k=7$,该概率超过 0.99;对 $k\ge12$,至三位小数其为 1.000。在每秩含多个物品的该问题中,除选中最高秩物品的概率外,策略还有另一效率度量,即多快选中最高秩物品。我们给出了该效率相当完整的刻画。