候选人数随机的秘书问题：先验分布信息如何提供帮助

我们研究秘书问题的若干变体，其中候选人数 $N$ 是一个随机变量，决策者希望仅利用已揭示候选人的相对排名来最大化成功概率——即在 $N$ 名候选人中选中最大数。我们考虑关于 $N$ 的概率分布 $\mathbf p$ 的三种先验信息形式。在完全信息设定下，我们假设 $\mathbf p$ 完全已知。此时，我们证明单阈值类策略能够以 $1/e$ 的近似比逼近所有策略中的最大成功概率。在上界设定下，我们假设 $N\leq \overline{n}$（或 $\mathbb E[N]\leq \bar{\mu}$），其中 $\bar{n}$（或 $\bar{\mu}$）已知。此时，我们证明对单阈值类策略进行随机化可在渐近意义下达到 $\frac{1}{\log(\bar{n})}$（或 $\frac{1}{\log(\bar{\mu})}$）的最优最坏情况成功概率。令人惊讶的是，存在一种（依赖于 $\overline{n}$ 的）单阈值策略，除支撑于 $[\bar{n}]$ 上指数级小的一部分分布外，对其余所有分布都能以 $2/e^2$ 的概率成功。在采样设定下，我们假设可获取 $m$ 个样本 $N^{(1)},\ldots,N^{(m)}\sim_{iid} \mathbf p$。此时，我们证明若对某个 $T\in \mathbb N$ 有 $N\leq T$ 的概率至少为 $1-O(\epsilon)$，则 $m\gtrsim \frac{1}{\epsilon^2}\max(\log(\frac{1}{\epsilon}),\epsilon \log(\frac{\log(T)}{\epsilon}))$ 足以学习到次优性不超过 $\epsilon$ 的策略，并且我们给出了 $\Omega(\frac{1}{\epsilon^2})$ 的下界，表明当 $\epsilon=O(\frac{1}{\log\log(T)})$ 时该采样算法是最优的。