“37%规则”与具有相对排名的秘书问题

我们重新审视从以随机顺序出现在我们面前的$n$个选项中选择一项，以最小化所选选项的期望排名的问题。具体而言，我们考察如下停止规则：拒绝前$k$个选项，然后选择第一个排名低于前$k$个中第$l$低排名项的后续项。我们证明最优规则满足$k \sim n/{\mathrm e}$，正如经典秘书问题中我们的唯一目标是选择排名最低的项；然而，通过最优选择的$l$，此处我们可以使所选选项的期望排名小于$n$的任意正幂（当$n$趋于无穷时）。我们还引入了一个共同的推广，其中我们的目标是最小化所选选项的期望排名，但该排名必须位于最低的$d$之内。