单生成元概型 II：局部单生成性与扭变

本文是 arXiv:2108.07185 的续篇，从模论视角继续研究数环的单生成性。根据本系列第一篇的结果，$A$-代数 $B$ 的生成元 $\theta$ 的选择是概型 $\mathcal{M}_{B/A}$ 上的一个 point（点）。在本文中，我们研究并关联从该视角产生的若干局部单生成性概念。我们首先考虑扩张 $B/A$ 在 Zariski 拓扑及更细拓扑下局部容许单生成元的条件，作为特例恢复了 Pleasants 的一个定理。接下来考虑 $B/A$ 为 \'etale 的情形，其中 \'etale 映射的局部结构使我们能够构造一个通用单生成空间并将其与无序构型空间相关联。最后，我们考察 $B/A$ 何时容许仅通过某个群（通常为 $\mathbb{G}_m$ 或 $\mathrm{Aff}^1$）的作用而不同的局部单生成元，由此产生扭变单生成元的概念。特别地，我们证明数环 $A$ 的类数为 1 当且仅当每个扭变单生成元事实上是一个全局单生成元 $\theta$。