Sch"utzenberger 反演与彩色格林模型

彩色格林模型可用于描述代数组合和表示论中感兴趣的许多不同类型的特殊函数，例如 Schur 多项式、非对称 Macdonald 多项式以及表示 p-adic 群的字符和 Whittaker 函数。一个突出的例子是 metaplectic ice 模型，其实际上有两种不同变体：Gamma 变体和 Delta 变体。这些变体在关键方面存在差异，但奇妙地产生相等的分区函数，即加权配置的和，这一等式称为 Gamma-Delta 二元性。该二元性被用于证明某些多重 Dirichlet 系列的解析延续，尤其是因为每一侧等式的配置数目可能不同，这一等式是高度非平凡的。在本文中，我们构建了一组可解的、可彩色化的格林模型，证明它们与文献中现有的格林模型等价，包括上述 metaplectic 案例以及（非 metaplectic）Iwahori Whittaker 函数的格林模型及其Cartan型A的Demazure 原子的晶体极限。分区函数的等式通过涉及Gamma型和Delta型格林模型行的R矩阵的Yang-Baxter 方程来证明。对于晶体Demazure格林模型，我们显示该二元性细化为由Sch"utzenberger 反演给出的状态权重保持双射，其关联Gelfand-Tsetlin图案或半标准 Young 表。我们还展示了在分区函数的二元性证明中交换两个行的各个步骤细化为Berenstein-Kirillov 或 Bender-Knuth 反演。